量子力学：规范不变性是规范场论的根底

　　规范不变性（gauge invariance）是指拉格朗日量和运动方程在规范改换下坚持不变的性质。规范不变性是结构规范理论的根本原理。

　　粒子体系的拉格朗日量，即粒子体系的动能减去粒子体系的势能的算符。物质场（如电子场、希格斯场等）的相位改换称为规范改换（如电子场(x)的相位改换(x)→eiα(x)，常数α为改换参数）。

　　假如改换参数与时空点无（有）关，则该改换叫作全体（定域）规范改换。单参数的相位改换在数学上可用U(1)群表明，相应的规范改换称为阿贝尔规范改换。具有阿贝尔定域规范改换不变性的理论称为阿贝尔规范理论，如量子电动力学。

　　假如有多个物质场（如三个不同“色彩”的夸克场），它们的相位改换由非阿贝尔群元素所联络，则称为非阿贝尔规范改换，具有非阿贝尔定域规范改换不变性的理论称为非阿贝尔规范理论，如量子色动力学。上一章讲的杨—米尔斯理论，就对错阿贝尔规范理论。

　　为了使拉格朗日量具有规范不变性，有必要引进规范场，并用协变导数替代一般导数，这就决议了规范相互效果的方式。规范不变性也导致规范场量子的质量为零。像任何其他对称性相同，规范对称性也与守恒流相联络，如在量子电动力学中，与U(1)规范对称性对应的电流即为守恒流，相应的荷守恒即为电荷守恒规律。

　　关于具有定域手征对称性的规范理论，要坚持矢量流的瓦德恒等式，则轴矢流的瓦德恒等式必定被量子效应所损坏（称为轴矢流或手征流失常），然后损坏理论的可重正性和幺正性，有必要选取规范群或物质场所属规范群的表明，使得没有手征流失常或失常消去。

　　假如真空（基态）损坏了规范不变性，则规范场量子可有质量，这样的规范理论称为规范对称性自发破缺的规范理论（如电弱一致理论）。规范对称性自发破缺的规范理论是可重正化的。

　　上面说了规范不变性是规范场论的根底。反过来也可以这样说规范场论（Gauge Theory）是根据对称改换可以部分也可以大局地实施这一思维的一类物理理论。非交流对称群（又称非阿贝尔群）的规范场论最常见的比如为杨-米尔斯理论。

　　物理体系往往用在某种改换下不变的拉格朗日量表述，当改换在每一时空点一起实施，它们有大局对称性。规范场论推行了这一思维，它要求拉格朗日量有必要也有部分对称性—应该可以在时空的特定区域实施这些对称改换而不影响到别的一个区域。这个要求是广义相对论的等效原理的一个推行。

　　规范“对称性”反映了体系表述的一个冗余性。规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互效果和强相互效果供给了一个一致的数学方式化架构——规范模型。这套理论精确地表述了自然界的三种根本力的试验猜测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。

　　最早包括规范对称性的物理理论是詹姆斯·麦克斯韦的电动力学。麦克斯韦在他的论文里特别提出，这理论源自于开尔文男爵于1851年发现的关于磁矢势的数学性质。

　　可是，该对称性的重要性在前期的表述中没有被注意到。大卫·希尔伯特假设在坐标改换下效果量不变，由此推导出爱因斯坦场方程时，也没有注意到对称性的重要。

　　之后，赫尔曼·外尔企图一致广义相对论和电磁学，他猜测规范（“规范”）改换下的“不变性”或许也是广义相对论的部分对称性。后来发现该猜测将导致某些非物理的效果。可是在量子力学开展今后，外尔、弗拉基米尔·福克（俄语：Vladimir Fock）和弗里茨·伦敦（英语：Fritz London）完成了该思维，但作了一些修正（把缩放因子用一个复数替代，并把规范改变变成了相位改变—一个U(1)规范对称性），这相应于带电荷的量子粒子其波函数遭到电磁场的影响，给定了一个美丽的解说。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传达。

　　1954年，为了处理一些根本粒子物理中的巨大紊乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引进非交流规范场论，来建构将核子绑在原子核中的强相互效果的模型。（Ronald Shaw，在阿卜杜勒·萨拉姆指导下，在他的博士论文中独登时引进了相同的概念。）经过推行电磁学中的规范不变性，他们企图结构根据（非交流的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的效果的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的效果。在粒子物理中，要点在于量子化规范场论。

　　该思维后来被发现可以用于弱相互效果的量子场论，以及它和电磁学的电弱一致理论中。当人们意识到非交流规范场论可以导出渐近自在的时分，规范场论变得更有吸引力，由于渐近自在被以为是强相互效果的一个重要特色—因此推动了寻觅强相互效果的规范场论的研讨。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群效果在夸克的色荷上的规范场论。规范模型用规范场论的言语一致了电磁力、弱相互效果和强相互效果的表述。

　　1970年代迈克尔·阿蒂亚爵士提出了研讨经典杨-米尔斯方程的数学解的方案。1983年，阿蒂亚的学生西蒙·唐纳森 在这个作业之上证明晰润滑4-流形的可微性分类和同胚性分类十分不同。麦可·弗里德曼选用唐纳森的作业证明奇特R4的存在，也便是，欧几里得4维空间上的奇特微分结构。这导致关于规范场论作为数学理论的爱好逐步添加，独立于它在根底物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明晰根据超对称的规范场技能，使得特定拓扑不变量的核算成为或许。这些数学上的效果也导致了对该范畴的新爱好。所以杨—米尔斯的理论奉献仍是很大的。

　　电磁学中的简略的规范对称性的比如 ：电路中接地的界说是规范对称性的一个比如；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为彻底不变；由于电路中的电位差不变。该现实的一个常见释例是休息在高压电线上的鸟不会遭电击，由于鸟对地绝缘。

　　这称为全体规范对称性。电压的绝对值不是实在的；真实影响电路的是电路组件两头的电压差。接地址的界说是恣意的，但一旦该点确认了，则该界说有必要大局的选用。

　　相反，假如某个对称性可以从一点到另一点恣意的界说，它是一个局域规范对称性。

　　那么有的同学或许会问了：“这个规范对称性和数学上选取坐标无关是相同的吗？”

　　我的答案是不相同的。规范不变性是指咱们对效果量里的各个场做一个局域的（李群的参数依赖于时空）改换后不变，这会导致咱们要对每一个李群的生成元都引进一个矢量场（便是规范场），而且这些规范场的质量项为0（不然损坏了规范不变性）。所以电磁U(1)规范不变性确保了光子的质量为0。

　　关于像W和Z这样的规范玻色子有质量那是由于希格斯机制的引进，效果量仍然规范不变，可是真空对称性损坏了。所以数学上与坐标选取无关和规范不变性还不太相同，坐标选取是对时空的，而咱们说的规范不变性一般是内部对称性，当然和时空是有联络的。

　　规范不变性在物理里意味着什么，意味着理论的可改换，也意味着联络的普遍性。这和广义相对论的等效原理还有联络。等效原理也可以是一种规范不变性。

　　一些纯几许上的概念描绘这个国际自身就很难以想象，别的物理上要求可重整，而现在已知的可重整的理论便是杨—米尔斯理论，汤川耦合(费米子与标量场的耦合)，phi 4(标量场的自耦合)。

　　还有便是规范不变性和咱们现在所知道的很多的“守恒”规律无疑是相观的。也意味着咱们可以找到一个大一致理论，由于描绘相互效果的正是规范场，假如咱们可以找到一个大的群，它的子群包括规范模型SU(3)×SU(2)×U(1)，而且可以找到好的机制使它破缺到规范模型，那么便是个大一致理论。在《改变》一书中，关于这个观念，我以为引力量子化，和广义相对论时空布景平坦化是突破点。也便是抛弃引力是时空曲折的观念。而把引力的实质归结为时空，而不是时空曲折。